保险公司将进行调查，并确认小明的责任。一般来说，如果小明的责任确实存在并超过一定比例，保险公司将会赔偿私家车车主的维修费用。如果小明购买的责任险具有第三者责任限额，那么保险公司将根据保险合同中约定的金额范围进行赔偿。保险公司将根据修理厂提供的估价或索赔金额进行赔付。
案例：小明在上班途中，由于疏忽驾驶，与一辆停在路边的私家车发生了碰撞，造成私家车后部车身受损。
根据小明的交通事故保险条款，他可以通过保险公司提供的责任险以及车损险来进行索赔。
1. 责任险理赔：
小明在事故中是肇事方，他需要先向保险公司报案，并提供事故发生的时间、地点、车辆等必要资料。保险公司将进行调查，并确认小明的责任。一般来说，如果小明的责任确实存在并超过一定比例，保险公司将会赔偿私家车车主的维修费用。如果小明购买的责任险具有第三者责任限额，那么保险公司将根据保险合同中约定的金额范围进行赔偿。
2. 车损险理赔：
小明可以选择使用自己的车损险来修复自己的车辆。他需要将车辆送到指定的修理厂进行维修，并向修理厂提供保险单和事故图片等相关证据。修理厂将会提供维修估价，小明可以选择同意维修或索赔金额。保险公司将根据修理厂提供的估价或索赔金额进行赔付。
在以上案例中，小明可以通过责任险赔偿私家车车主的维修费用，同时也可以通过车损险修复自己的车辆。但需要注意的是，保险公司会根据保险合同中的免赔额和赔付上限来确定具体赔付金额。此外，小明如果属于保险事故频繁出险的情况下，可能会被保险公司提高保费或拒绝续保等处理措施。